Άρθρα

5.2: 5.2 Οπτικοποίηση διαστήματος φάσης μοντέλων διακριτού χρόνου συνεχούς κατάστασης - Μαθηματικά


Μόλις βρείτε τα σημεία ισορροπίας του συστήματος, το επόμενο φυσικό βήμα ανάλυσης θα ήταν να σχεδιάσετε ολόκληρη την εικόνα του χώρου φάσης του (εάν το σύστημα είναι δύο ή τρισδιάστατο).

Για συστήματα διακριτού χρόνου με μεταβλητές συνεχούς κατάστασης (δηλαδή, μεταβλητές κατάστασης που λαμβάνουν πραγματικές τιμές), η σχεδίαση ενός χώρου φάσης μπορεί να γίνει πολύ εύκολα χρησιμοποιώντας απλές προσομοιώσεις υπολογιστή, όπως κάναμε στο Σχ. 4.4.2. Ωστόσο, για να αποκαλύψετε μια δομή μεγάλης κλίμακας του χώρου φάσης, πιθανότατα θα χρειαστεί να σχεδιάσετε πολλά αποτελέσματα προσομοίωσης ξεκινώντας από διαφορετικές αρχικές καταστάσεις. Αυτό μπορεί να επιτευχθεί τροποποιώντας τη συνάρτηση αρχικοποίησης έτσι ώστε να μπορεί να λαμβάνει συγκεκριμένες αρχικές τιμές για μεταβλητές κατάστασης και, στη συνέχεια, μπορείτε να βάλετε τον κωδικό προσομοίωσης σε βρόχους που σαρώνουν τις τιμές παραμέτρων για ένα δεδομένο εύρος. Για παράδειγμα:


Τα αναθεωρημένα μέρη από το προηγούμενο παράδειγμα επισημαίνονται με ###. Εδώ, τοΕνα ΕΥΡΟΣΗ συνάρτηση χρησιμοποιήθηκε για να ποικίλει αρχικάΧκαιγτιμές άνω του ([- 2,2] ) στο διάστημα 0,5. Για κάθε αρχική κατάσταση, πραγματοποιείται προσομοίωση για 30 βήματα και, στη συνέχεια, το αποτέλεσμα γράφεται με μπλε χρώμα (η επιλογή «b»οικόπεδο). Η έξοδος αυτού του κωδικού είναι το Σχ. 5.2.1, το οποίο δείχνει ξεκάθαρα ότι ο χώρος φάσης αυτού του συστήματος αποτελείται από πολλές ομόκεντρες τροχιές γύρω από την προέλευση.

Άσκηση ( PageIndex {1} )

Σχεδιάστε ένα διάστημα φάσης του ακόλουθου δισδιάστατου μοντέλου εξίσωσης διαφοράς στο Python:

[x_ {t} = x_ {t-1} +0.1 (x_ {t-1} -x_ {t-1} y_ {t-1}) ετικέτα {(5.11)} ]

[y_ {t} = y_ {t-1} +0.1 (y_ {t-1} -x_ {t-1} y_ {t-1}) ετικέτα {(5.12)} ]

[(x> 0, x> 0) label {(5.13)} ]

Τα τρισδιάστατα συστήματα μπορούν επίσης να απεικονιστούν με παρόμοιο τρόπο. Για παράδειγμα, ας προσπαθήσουμε να απεικονίσουμε το ακόλουθο τρισδιάστατο μοντέλο εξισώσεων διαφοράς:

[x_ {t} = 0,5x + y label {(5.14)} ]

[y_ {t} = -0,5x + y label {(5.15)} ]

[z_ {t} = -x-y + z label {(5.16)} ]

Ο σχεδιασμός σε 3-D απαιτεί επιπλέονmatplotlibστοιχείο που ονομάζεταιΆξονας 3D. Δείγμα κώδικα δίνεται στον κώδικα 5.2. Σημειώστε το νέοεισαγωγή Axes3Dγραμμή στην αρχή, καθώς και οι δύο επιπλέον γραμμές πριν από το για βρόχους. Αυτός ο κωδικός παράγει το αποτέλεσμα που φαίνεται στο Σχ. 5.2.2.

Σημειώστε ότι γενικά δεν είναι καλή ιδέα να σχεδιάσετε πολλές τροχιές σε έναν τρισδιάστατο χώρο φάσης, επειδή η οπτικοποίηση θα γίνει πολύ γεμάτη και δύσκολη να δείτε. Η σχεδίαση μικρού αριθμού χαρακτηριστικών τροχιών είναι πιο χρήσιμη.

Σε γενικές γραμμές, θα πρέπει να έχετε κατά νου ότι η οπτικοποίηση χώρου φάσης των διακριτών μοντέλων μπορεί να μην δίνει πάντα εικόνες που είναι εύκολα ορατές στο ανθρώπινο μάτι. Αυτό συμβαίνει επειδή η κατάσταση ενός συστήματος διακριτού χρόνου μπορεί να μεταπηδήσει στο χώρο φάσης και έτσι οι τροχιές μπορούν να διασταυρωθούν μεταξύ τους (αυτό δεν θα συμβεί για μοντέλα συνεχούς χρόνου). Εδώ είναι ένα παράδειγμα. Αντικαταστήστε το περιεχόμενο της συνάρτησης ενημέρωσης στον Κώδικα 5.1 με τα εξής:


Ως αποτέλεσμα, λαμβάνετε το Σχ. 5.2.3. Αν και αυτό μπορεί να είναι αισθητικά ευχάριστο, δεν βοηθά πολύ την κατανόησή μας για το σύστημα επειδή υπάρχουν πάρα πολλές τροχιές στο διάγραμμα. Υπό αυτήν την έννοια, η απλή οπτική απεικόνιση χώρου δεν μπορεί πάντα να είναι χρήσιμη για την ανάλυση δυναμικών συστημάτων διακριτού χρόνου. Στις ακόλουθες ενότητες, θα συζητήσουμε μερικές πιθανές λύσεις για αυτό το πρόβλημα.


Δες το βίντεο: ΟΠΛΙΣΜΟΣ ΥΦΕΣΕΩΝ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΑΡΓΑΡΙΤΗΣ (Οκτώβριος 2021).